同時進行で行われている部分もあるのかもしれませんが
処理の流れのイメージとてはこんな感じでしょうか？

1. ユーザーがテキストボックスに入力して enter キーを押す

2. 1のアクションにより JavaScript の submit イベントが発火、 fetch が実行されて入力値と token を取得する
   ただし DB 更新と json 設定はされてないので

.then(response => {
  return response.json();
})

の部分で false になりその先に進まない？

3. PHP の processPost メソッドで add() が実行されて、 DB 更新、 ID 取得

4. header('Content-Type: application/json'); により、送信先（設定先）を json に指定

5. echo json_encode(['id' => $id]); により、 json に id を書き込み

6. 今度は return response.json(); が true になるので（現時点では）コンソールに出力して終了

このような流れのイメージで合ってますでしょうか？

.then がどのように呼び出されるのかいまいちイメージ出来ないのでその辺りを教えて頂けると嬉しいです

（ 2 の流れで呼び出されるのではなく 4 の header で呼び出される？）

ちなみに then の前の . （ドット）は何故つけるのでしょうか？
宜しくお願いします