とりあえず、classList.add() で show というクラスをつけることにしてあげて、show クラスを CSS のほうで作っていきましょう。

ですが、

これで、overlay クラスに show クラスが付与されることはイメージできますが、
コードのどこに show クラスが追加されるのですか？

下記のようなイメージですか？

 <div class="overlay show"> ← ここ
      <span class="material-icons" id="close">close</span>  
      <nav>
        <ul>
          <li><a href="#">Menu</a></li>
          <li><a href="#">Menu</a></li>
          <li><a href="#">Menu</a></li>
        </ul>
      </nav>
 </div>

よろしくお願いいたします。